english
Ostatnia modyfikacja podstrony: 20.02.2023 21:23
Wykłady
Algebra z geometrią
| Lp | Tematy zajęć | Materiały pomocnicze |
|---|---|---|
| 1 |
Wprowadzenie do przedmiotu Algebra z geometrią i przegląd zagadnień: pojęcie zbioru, zbiory liczb, wektory i macierze, działania algebraiczne, działania modulo, działania na zbiorach, kwantyfikatory, iloczyn kartezjański, zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, pojęcie relacji, relacje dwuargumentowe, zwrotność, symetria i przechodniość relacji, relacje porządkujące i półporządkujące, relacje równoważnościowe, pojęcie odwzorowania-relacja jednoznaczna, odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, odwzorowanie odwrotne, relacja równoliczności zbiorów, iloczyn odwzorowań, działania wewnętrzne i zewnętrzne, zgodność relacji z działaniem, struktury algebraiczne. Wprowadzenie do algebry liniowej: geometryczne ilustracje układów równań liniowych: interpretacja wierszowa, interpretacja kolumnowa Studenckie Koło Naukowe Decybel |
|
| 2 |
Ciało liczb zespolonych: definicja liczby zespolonej, postać kanoniczna liczby zespolonej, dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, sprzężenie, postać trygonometryczna liczby zespolonej, moduł i argument liczby zespolonej, wzory Eulera, wzór de Moivre'a, pierwiastki naturalnego stopnia, potęgowanie i logarytmowanie liczb zespolonych, zastosowania liczb zespolonych w elektrotechnice i w elektronice. |
02_liczby zespolone_www.pdf |
| 3 |
Podstawowe pojęcia algebry liniowej: iloczyn skalarny wektorów, rzut prostokątny wektora na wektor, równanie linii prostej na płaszczyźnie, dodatania strona prostej, równanie płaszczyzny w przestrzeni 3D, równania linii prostej w przestrzeni 3D, punkt w przestrzeni 3D i na płaszczyźnie, pojęcie hiperpłaszczyzny w przestrzeni nD, mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy, mnożenie wektora wierszowego przez macierz, zamiana wierszy lub kolumn - macierz permutacji, macierz jednostkowa, graficzne wyobrażenie wektorów, wektory w przyrodzie i w technice, podstawowe działania na wektorach, mnośenie macierzy, macierz odwrotna, wyznacznik macierzy kwadratowej. |
|
| 4 |
Przestrzenie liniowe (wektorowe), przestrzeń kolumnowa i przestrzeń zerowa macierzy, redukcja macierzy według Gaussa-Jordana, dekompozycja LU, postać schodkowa macierzy: pojęcie przestrzeni liniowej (wektorowej), pojęcie podprzestrzeni, suma mnogościowa (złożenie) i iloczyn mnogościowy (część wspólna) podprzestrzeni, określanie przestrzeni i podprzestrzeni za pomocą jednorodnych układów równań, przestrzeń zerowa macierzy, przestrzeń rozpięta na "pęczku" wektorów, liniowa zależność i niezależność wektorów, baza i liczba wymiarów przestrzeni liniowej, bazy naturalne, wymiar przestrzeni liniowej, przestrzeń kolumnowa macierzy, eliminacja metodą Gaussa - elementy osiowe, redukcja macierzy według Gaussa-Jordana, obliczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana, dekompozycja LU, mały oddech - pojęcia: MAC, flop i flops, równoważne układy równań -elementarne operacje wierszowe, metoda eliminacji według Gaussa - dla zaawansowanych, dekompozycja LU - dla zaawansowanych.wierszowa postać schodkowa (row echelon form) macierzy, rząd macierzy, kolumny osiowe i swobodne, zmienne osiowe i swobodne, rozwiązywanie równania A x = 0, zredukowana wierszowa postać schodkowa (reduced row echelon form) macierzy, macierz przestrzeni zerowej. |
04_przestrzenie liniowe LU_www.pdf |
| 5 | Cztery fundamentalne przestrzenie macierzy: baza przestrzeni liniowej - przypomnienie, wymiar przestrzeni liniowej - przypomnienie, przykłady baz, iloczyn skalarny wektorów - przypomnienie, równania punktów, prostych i płaszczyzn, dwa sposoby określania podprzestrzeni, określanie (pod)przestrzeni za pomocą baz - przykłady, określanie (pod)przestrzeni za pomocą równań - przykłady, cztery fundamentalne przestrzenie macierzy: przestrzeń kolumnowa, przestrzeń zerowa, przestrzeń wierszowa, lewa przestrzeń zerowa macierzy, relacje między przestrzeniami, informacje dodatkowe dla zaawansowanych: liniowe przekształcenia przestrzeni liniowych, obraz i jądro przekształcenia liniowego. | 05_ 4 przestrzenie macierzy_www.pdf |
| 6 | Układy równań liniowych czyli równanie macierzowe: równanie macierzowe jako problem odwrotny, interpretacja wierszowa - układ równań liniowych, interpretacja kolumnowa - równanie wektorowe, istnienie i jednoznaczność rozwiązań układów równań liniowych a przestrzeń kolumnowa i przestrzeń wierszowa macierzy, macierz rozszerzona, jednorodny układ równań liniowych, warunki istnienia rozwiązań układu równań liniowych, niejednorodny układ równań liniowych, rozwiązywanie układu n równań z n niewiadomymi, rozwiązania równania Ax=b - analiza przypadków, twierdzenie Kroneckera-Capellego, wyznacznik macierzy kwadratowej - przypomnienie, minory i rząd macierzy, układ n równań z n niewiadomymi - wzory Cramera. | 06_uklad rownan liniowych_www.pdf |
| 7 | Formułowanie równań macierzowych w naukach przyrodniczych i technicznych - obwody elektryczne i macierz incydencji: grafy strukturalne i sieci powiązań, prawa Kirchhoffa i prawo Ohma, grafy strukturalne a grafy przepływowe, twierdzenie Eulera, topologiczny dowód twierdzenia Eulera, macierz incydencji, przestrzeń zerowa macierzy incydencji, zapis drugiego prawa Kirchhoffa za pomocą potencjałów węzłowych i macierzy incydencji, rząd macierzy incydencji, transponowana macierz incydencji i jej przestrzeń zerowa, zapis pierwszego prawa Kirchhoffa, pojęcie prądów oczkowych, algebraiczny dowód twierdzenia Eulera, analiza obwodu elektrycznego - metoda potencjałów węzłowych, macierz admitancyjna, przykład analizy prostego obwodu elektrycznego, metoda prądów oczkowych, porównanie metody prądów oczkowych z metodą potencjałów węzłowych, graf dualny. | 07_obwody i macierz incydencji_www.pdf |
| 8 | Zmiana bazy, rzutowanie oraz problem najmniejszych kwadratów: współrzędne i składowe wektora - powtórzenie, kolor jako wektor, liniowe przekształcenia przestrzeni liniowych, zmiana bazy, macierz przekształcenia, przykład zmiany bazy: transformacja RGB→YUV, koncepcja rzutowania przestrzeni na podprzestrzeń, rzutowanie na podprzestrzeń rozpiętą na podzbiorze wektorów aktualnej bazy, przykład rzutowania: zmiana obrazu kolorowego na obraz w skali szarości, macierz rzutująca, rzutowanie obrazu kolorowego na płaszczyznę chrominancji, rzutowanie przestrzeni na podprzestrzeń rozpiętą na podzbiorze nowej bazy, rzut prostokątny wektora na wektor, rzut prostokątny przestzreni na podprzestrzeń kolumnową macierzy, rozwiązywanie równania Ax=b, które nie ma rozwiązań (metoda najmniejszych kwadratów), regresja liniowa. | 08_zmiana bazy rzutowanie i regresja_www.pdf |
| 9 |
Wektory, bazy i macierze ortogonalne, dekompozycja QR: jakie obiekty algebraiczne mogą być ortogonalne? iloczyn skalarny (wewnętrzny) wektorów - powtórka, wektory ortogonalne i ortonormalne, baza standardowa, przykłady macierzy ortogonalnych, macierz Hadamarda, transformacje ortogonalne, rotatory i reflektory, rotator Givensa i własności rotatorów, idea dekompozycji QR i jej realizacja za pomocą rotatorów, rzut prostokątny wektora na wektor (projektor) - powtórka, reflektro Householdera i własności reflektrorów, zastosowanie reflektrorów do dekompozycji QR, ortogonalizacja Grama-Schmidta, dekompozycja QR metodą Grama-Schmidta, dekompozycja QR w zagadnieniu najmniejszych kwadratów. |
09_ortogonalnosc QR_www.pdf |
| 10 | Wartości i wektory własne macierzy: skalary i wektory - przypomnienie, przestrzenie liniowe - przypomnienie, przekształcenia liniowe - przypomnienie, wielkie równanie algebry, wektory własne i wartości własne macierzy, geometryczna krotność wartości własnej, przykłady wyznaczania wartości i wektorów własnych, wyznacznik i ślad macierzy czyli iloczyn i suma wartości własnych, równanie charakterystyczne macierzy, algebraiczna krotność wartości własnej, wartości własne macierzy trójkątnych, macierze symetryczne, pojęcie przestrzeni własnej wartości własnej macierzy, relacje między krotnościami algebraicznymi i geometrycznymi, macierze proste i wadliwe, przykłady przekształceń liniowych. | 10_wartosci i wektory wlasne_www.pdf |
| 11 | Wartości własne macierzy a stabilność układów dynamicznych: pokazy eigshow w środowisku Matlab, dyskretny (cyfrowy) układ dynamiczny - macierz stanu, stan ustalony, jak bije serce macierzy? stabilność dyskretnego układu dynamicznego, diagonalizacja macierzy, potęgowanie macierzy, macierz asymptotycznie stabilna, macierze diagonalizowalne i niediagonalizowalne, ciąg Fibonacciego, układ liniowych równań różniczkowych, rozwiązanie ogólne układu liniowych równań różniczkowych, stabilność układu liniowych równań różniczkowych, macierze podobne. | 11_wartosci wlasne a stabilnosc_www.pdf |
| 12 | Macierze dodatnio określone, dekompozycja macierzy wegług Choleskiego, macierze podobne: wartości i wektory własne macierzy symetrycznych, diagonalizacja macierzy symetrycznych, macierze symetryczne i hermitowskie ("ładne" macierze), macierze dodatnio określone ("piękne" macierze), definicja energetyczna macierzy dodatnio określonej, pasywne systemy fizyczne, macierze dodatnio określone, półokreślone i nieokreślone, forma kwadratowa, konstrukcja macierzy dodatnio określonej, Choleskiego metoda dekompozycji, macierze podobne i "brzydkie" macierze, forma Jordana, bloki Jordana i twierdzenie Jordana. | 12_macierze dodatnio-okreslone Cholesky_www.pdf |
| 13 | Wartości szczególne (SVD - nowa dekompozycja macierzy), macierze pseudoodwrotne: przekształcanie wektora przez macierz, przekształcanie zestawu ortonormalnych wektorów przez macierz, opcja SVD w pokazie eigshow w środowisku Matlab, rozkład za pomocą wartości szczególnych - SVD (singular value decomposition), separacja sygnałów akustycznych za pomocą SVD, rozkład SVD macierzy dodatnio określonej, przeszukiwanie stron internetowych (algorytm HITS), lewo- i prawostronna macierz odwrotna, macierz pseudoodwrotna Moore'a-Penrose'a. | |
| 14 | Wrażliwość systemów liniowych na błędy pomiarowe i obliczeniowe: błędy pomiarowe, obliczeniowe i wrażliwość układów równań, normy wektorów, normy macierzy - własność konsystencji (dla macierzy kwadratowych), normy: Frobeniusa, operatorowa, p-tej potęgi i norma spektralna macierzy, norma kolumnowa i norma wierszowa, układ równań liniowych z zaburzonym wektorem wyrazów wolnych, wrażliwość układu równań liniowych - wskaźnik uwarunkowania macierzy (liczba kondycyjna macierzy), maksymalne i minimalne wydłużenie wektora przez macierz, macierze źle uwarunkowane, efekty zaburzenia macierzy współczynników. |
|
| 15 | Macierze unitarne, DFT, dekompozycja Schura: iloczyn skalarny wektorów o elementach zespolonych, macierze unitarne, liczby zespolone w elektrotechnice - wskazy, fale w obwodzie elektrycznym, moc padająca, odbita i transmitowana, bezstratny obwód elektryczny, unitarna transformacja sygnału, dyskretna transformacja Fouriera - DFT (discrete Fourier transformation), dekompozycja Schura, macierze nilpotentne. | 15_macierze unitarne DFT Schur_www.pdf |
| 16 |
Materiały dodatkowe Macierze: podstawowe zagadnienia dotyczące macierzy, działania na macierzach, macierz transponowana, wymiar macierzy, rząd macierzy, macierze kwadratowe, macierze symetryczne i antysymetryczne, wyznacznik macierzy, minor, obliczanie wyznaczników, macierz odwrotna, dopełnienie algebraiczne, macierz osobliwa, macierz ortogonalna i unitarna, macierze blokowe, macierze trójkątne Struktury algebraiczne ze szczególnym uwzględnieniem permutacji: główne typy struktur algebraicznych: półgrupy, grupy, grupy abelowe, pierścienie, ciała, ciała skończone (ciała Galois), moduły, przestrzenie wektorowe, algebry, permutacje: grupy odwzorowań, grupy permutacji, działania na permutacjach, transpozycje i permutacje cykliczne, permutacje parzyste i nieparzyste Matlab - laboratorium macierzowe: laboratorium macierzowe - środowisko do obliczeń naukowych i eksperymentów obliczeniowych |
16_macierze_www.pdf |
| Przykładowe zadania egzaminacyjne z rozwiązaniami |
|
Materiały wideo:
Wykłady - wersja panoramiczna: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUJgzN4HpD3lnXFdzZghPV8AJAAXX3688
Wykłady - wersja standardowa: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUJgzN4HpD3mh2MiiHFlazCfFikMuER7N
Literatura dodatkowa:
-
http://ocw.mit.edu, wykłady Profesora Gilberta Stranga, Massachusetts Institute of Technology.
-
G. Strang, Introduction to linear algebra, Wellesley-Cambridge Press, MA, 2009.
-
G. Strang, Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press, MA, 2007.
-
D. S. Watkins, Fundamentals of matrix computations, John Wiley & Sons, New York, 1991.
-
T. Kaczorek, Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice, WNT, Warszawa 1998.
-
Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1994.
-
R. L. Ramey, E. J. White, Zastosowanie macierzy w maszynowej analizie układów elektronicznych, PWN, Warszawa 1974.
-
G. H. Golub, C. F. van Loan, Matrix computations, North Oxford Academic, Oxford 1983.
-
A. Jennings, Matrix computations for engineers and scientists, J. Wiley & Sons, New York 1977.
-
J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
-
A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1991.